【三角函数公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。为了便于理解和记忆，本文对常见的三角函数公式进行了系统总结，并通过表格形式进行归纳整理。
一、基本三角函数定义
设一个直角三角形中，角为θ，其邻边为a，对边为b，斜边为c，则：
- 正弦（sin）：sinθ = 对边 / 斜边 = b / c
- 余弦（cos）：cosθ = 邻边 / 斜边 = a / c
- 正切（tan）：tanθ = 对边 / 邻边 = b / a
- 余切（cot）：cotθ = 邻边 / 对边 = a / b
- 正割（sec）：secθ = 斜边 / 邻边 = c / a
- 余割（csc）：cscθ = 斜边 / 对边 = c / b
二、三角函数的基本恒等式
| 公式 | 表达式 |
| 平方恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切的关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 勾股定理的推广 | sec²θ = 1 + tan²θ；csc²θ = 1 + cot²θ |
三、诱导公式（角度变化）
| 角度变换 | 公式 |
| θ + π/2 | sin(θ + π/2) = cosθ；cos(θ + π/2) = -sinθ |
| θ + π | sin(θ + π) = -sinθ；cos(θ + π) = -cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ；cos(-θ) = cosθ；tan(-θ) = -tanθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ；cos(π - θ) = -cosθ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和差 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角 | sin2θ = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角 | tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差与和差化积
| 公式 | 表达式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | |
| sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
八、反三角函数简要说明
反三角函数是三角函数的逆函数，用于求解已知三角函数值对应的角。常见有：
- 反正弦函数（arcsin）：y = arcsin(x)，定义域 [-1, 1]，值域 [-π/2, π/2
- 反余弦函数（arccos）：y = arccos(x)，定义域 [-1, 1]，值域 [0, π
- 反正切函数（arctan）：y = arctan(x)，定义域 R，值域 (-π/2, π/2)
总结
三角函数公式种类繁多，但掌握其基本定义、恒等式、和差角、倍角、半角等核心内容后，能够有效应对各种计算和推导问题。建议在学习过程中结合图形理解，并通过练习加深记忆。
